ပုံမှန် polyhedra: element တွေကို symmetry နှင့်ဧရိယာ

အစဉ်အမြဲအဘယ်ကြောင့်များနှင့်သင်သည်အဘယ်သို့ထင်ရှင်းရှင်းလင်းလင်းမသိရပါဘူးဖြစ်သော algebra, မတူဘဲတစ်အမြင်အာရုံအရာဝတ္ထုပေးသည်ကြောင့်။ ဂျီသြမေတြီလှပ အမျိုးမျိုးသောအလောင်းတွေဒီအံ့သြစရာကမ္ဘာကြီးပုံမှန် polyhedra ဆင်ယင်ခြယ်သ။

ပုံမှန် polyhedra အပေါ်အထွေထွေအချက်အလက်

အများအပြားပုံမှန် polyhedrons အဆိုအရ, ဒါမှမဟုတ်သူတို့ပလေတိုစိုင်အခဲဟုခေါ်ကြသည်အဖြစ်, ထူးခြားတဲ့ဂုဏ်သတ္တိဝင်စား။ ဤအအရာဝတ္ထုများစွာကိုသိပ္ပံနည်းကျယူဆချက်ချိတ်ဆက်အတူ။ သငျသညျကိုယျခန်ဓာ၏ဂျီဩမေတြီ data တွေကိုလေ့လာဖို့စတင်တဲ့အခါ, သငျသညျနီးပါးပုံမှန် polyhedra ကဲ့သို့သောအယူအဆတွေအကြောင်းဘာမှမသိရပါဘူးသဘောပေါက်။ ကျောင်းတွင်ဤအရာဝတ္ထုများ၏တင်ပြချက်အမြဲစိတ်ဝင်စားစရာကောင်းသည်မဟုတ်, ဤမျှလောက်များစွာသောပင်သူတို့ဟုခေါ်ကြသည်အဘယ်အရာကိုသတိရကြပါဘူး။ လူအများစု၏မှတ်ဉာဏ်ထဲမှာမယ့်တုံးဖြစ်ပါတယ်။ ခန္ဓာကိုယ်ဂျီသြမေတြီအဘယ်သူအားမျှပုံမှန် polyhedrons ကဲ့သို့သောစုံလင်ဝင်စားပါဘူး။ ဤအဂျီဩမေတြီအလောင်းတွေအားလုံးအမည်များရှေးခေတ်ဂရိနိုင်ငံအနေဖြင့်ဝေါဟာရဖြစ်ပါတယ်။ - လေးယောက်တဖက်သတ်, hexahedron - Allen က, octahedron - Octagon, dodecahedron - dodecahedral, icosahedron - icosahedral အဆိုပါ tetrahedron: သူတို့ကမျက်နှာများ၏နံပါတ်ကိုယ်စားပြုသည်။ ဤအဂျီဩမေတြီခန္ဓာကိုယ်အားလုံးဝဠာပလေတိုရဲ့ကိုယ်ဝန်ဆောင်ခြင်းအတွက်အရေးပါသောနေရာအရပ်ယူထားသော။ သူတို့ထဲကလေးသောဒြပ်စင်သို့မဟုတ်အဖွဲ့အစည်းများခံပြီးနေကြသည်: အ tetrahedron - မီးသည် icosahedron - ရေတုံး - မြေကြီး, octahedron - လေထု။ Dodecahedron ခပ်သိမ်းသောအရာတို့ကိုခံပြီး။ သူဝဠာ၏သင်္ကေတအဖြစ်အဓိကထည့်သွင်းစဉ်းစားခဲ့ပါတယ်။

တစ်ဦး polyhedron ၏အယူအဆ၏အထွေထွေ

Polyhedron ထိုကဲ့သို့သောကြောင်းအနားတစ်ကနျ့စုဆောင်းခြင်းဖြစ်ပါသည်:

• ယင်းအနားမဆို၏နှစ်ဖက်၏တစ်ဦးချင်းစီတူညီဘက်မှာအခြားအနား၏တစ်ချိန်တည်းတစ်ဦးတည်းသာအခြမ်းမှာမူကား,
• အဆိုပါအနားတစ်ခုချင်းစီကနေသင်တို့ကိုအနားရမညျကပ်လျက်ဖြတ်သန်းနေဖြင့်အခြားလမ်းလျှောက်နိုင်ပါတယ်။

နံရိုး - ထို polyhedron ဖွဲ့စည်းရန်အနားက၎င်း၏မျက်နှာများနှင့်၎င်းတို့၏ဘေးထွက်ကိုယ်စားပြုသည်။ polyhedra vertices အနားများ၏ vertices ဖြစ်ကြသည်။ ဟူသောဝေါဟာရကိုအနားပြားချပ်ချပ်ပိတ်ထားသော polylines နားလည်လျှင်, တစ်ဦး polyhedron တဦးနှင့်အဓိပ္ပါယ်ထံသို့လာကြ၏။ ဒီအသုံးအနှုန်းအားဖြင့်ကျိုးလိုင်းများအားဖြင့်ကာရံထားခြင်းခံရသည်သောလေယာဉ်၏အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုဆိုလိုရှိရာကိစ္စတွင်ခုနှစ်, ဒါကြောင့်အနားအပိုင်းပိုင်းပါဝင်သည်ဟုမျက်နှာပြင်နားလည်သဘောပေါက်ပါလိမ့်မည်။ ခုံး polyhedron ယင်း၏မျက်နှာများကပ်လျက်လေယာဉ်များ၏တဦးတည်းဘက်မှာလဲလျောင်းခန္ဓာကိုယ်, ဟုခေါ်သည်။

နောက်ထပ်တစ်ဦး polyhedron ၏အဓိပ်ပါယျနှင့်၎င်း၏ဒြပ်စင်

Polyhedron ဟာဂျီဩမေတြီခန္ဓာကိုယ်ကန့်သတ်သောအနားပါဝင်သည်ဟုမျက်နှာပြင်ကိုခေါ်။ သူတို့ဟာနေသောခေါင်းစဉ်:

• Non-ခုံး;
• ခုံး (အမှားအမှန်) ။

ပုံမှန် polyhedron - အကျယ်ချဲ့ symmetry နှင့်အတူတစ်ခုံး polyhedron ဖြစ်ပါတယ်။ ပုံမှန် polyhedra ၏ဒြပ်စင်:

• Tetrahedron: 6 နံရိုး 4 မျက်နှာများ 5 vertices;
• hexahedron (တုံး) 12, 6, 8;
• 30, 12, 20 dodecahedron;
• octahedron 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12 ။

Euler ရဲ့ theorem

ဒါဟာအနား, vertices နှင့်မျက်နှာများ၏နံပါတ်အကြားဆက်ဆံရေးဟာနယ်ပယ်မှ topologically ညီမျှများမှာတည်စေ။ vertices နှင့်မျက်နှာများ၏နံပါတ် (B + D) ကွဲပြားခြားနားသောပုံမှန် polyhedra ရှိသည်နှင့်နံရိုးများ၏အရေအတွက်နှင့်အတူသူတို့ကိုနှိုင်းယှဉ်ပေါင်းထည့်ခြင်း, ကတဦးတည်းအုပ်ချုပ်မှုကိုတင်ထားရန်ဖြစ်နိုင်သမျှဖြစ်ပါသည်: vertices နှင့်အနားများ၏အရေအတွက်နှင့်ညီမျှမျက်နှာများအရေအတွက်၏ပေါင်းလဒ် (P), 2. တိုးဒါဟာရိုးရှင်းတဲ့ပုံသေနည်းရယူထားခြင်းဖြစ်နိုင်သည်:

• B + D ကို = P ကို + 2 ။

ဒါဟာပုံသေနည်းအားလုံးခုံး polyhedra များအတွက်တရားဝင်သည်။

အခြေခံအဓိပ္ပာယ်

ပုံမှန် polyhedron ၏အယူအဆတစျခုဝါကျထဲမှာကိုဖော်ပြရန်မဖြစ်နိုင်ဘူး။ ဒါဟာပိုပြီးတန်ဖိုးထားနဲ့ volume ဖြစ်ပါတယ်။ ထိုကဲ့သို့သောအဖြစ်အသိအမှတ်ပြုခံရဖို့တစ်ဦးကခန္ဓာကိုယ်ကအဓိပ္ပာယ်များစွာနှင့်တွေ့ဆုံကြောင်းလိုအပ်ပါသည်။ ဤအခြေအနေများတွေ့ဆုံခဲ့ကြသောအခါထို့ကြောင့်တစ်ဦးဂျီဩမေတြီခန္ဓာကိုယ်ပုံမှန် polyhedron ဖြစ်လိမ့်မည်:

• ဒါဟာခုံးဖြစ်၏
• နံရိုး၏တူညီသောအရေအတွက်ကယင်း၏ vertices ၏တစ်ဦးချင်းစီမှာပါတယ်,
• မိမိအသားအပေါငျးရှုထောငျ့ - အချင်းချင်းတန်းတူပုံမှန်အနား,
• အားလုံး dihedral ထောင့်ညီမျှကြသည်။

ပုံမှန် polyhedra ၏ Properties ကို

ပုံမှန် polyhedra ၏ 5 အမျိုးမျိုးရှိပါတယ်:

1. Cube (hexahedron) - ကပြားချပ်ချပ်အထွတ်ထောင့် 90 ဒီဂရီဖြစ်ပါတယ်ရှိပါတယ်။ ဒါဟာ 3-တဖက်သတ်ထောင့်ရှိပါတယ်။ ငွေပမာဏမျက်နှာ 270 °၏အထွတ်မှာထောင့်ချိုး။
2. Tetrahedron - 60 ° - ၏ပြားချပ်ချပ်အထွတ်ထောင့်။ ဒါဟာ 3-တဖက်သတ်ထောင့်ရှိပါတယ်။ 180 ° - ငွေပမာဏမျက်နှာအထွတ်မှာထောင့်ချိုး။
3. Octahedron - 60 ° - ၏ပြားချပ်ချပ်အထွတ်ထောင့်။ ဒါဟာလေးတဖက်သတ်ထောင့်ရှိပါတယ်။ 240 ° - ငွေပမာဏမျက်နှာအထွတ်မှာထောင့်ချိုး။
4. Dodecahedron - 108 °တစ်ပြားချပ်ချပ်အထွတ်ထောင့်။ ဒါဟာ 3-တဖက်သတ်ထောင့်ရှိပါတယ်။ 324 ° - ငွေပမာဏမျက်နှာအထွတ်မှာထောင့်ချိုး။
5. Icosahedron - 60 ° - ကတဲ့ပြားချပ်ချပ်အထွတ်ထောင့်ရှိပါတယ်။ ဒါဟာငါးတဖက်သတ်ထောင့်ရှိပါတယ်။ ငွေပမာဏမျက်နှာ 300 °၏အထွတ်မှာထောင့်ချိုး။

ပုံမှန် polyhedra ၏ဧရိယာ

အဆိုပါကြယ်အလောင်း (S) ၏မျက်နှာပြင်ဧရိယာရှုထောငျ့ (G) ၏အရေအတွက်အားဖြင့်များပြားစေပုံမှန်အနားဧရိယာအဖြစ်တွက်ချက်:

• S က = (က: 2) 2G ctg π / p x ။

ပုံမှန် polyhedron ၏အသံအတိုးအကျယ်

ဤသည်မှာတန်ဖိုးကိုအဘယ်သူ၏အခြေစိုက်စခန်းပုံမှန်အနားဖြစ်ပါသည်ပုံမှန်ပိရမစ်, မျက်နှာများ၏နံပါတ်၏အသံအတိုးအကျယ်မပွားများအားဖြင့်တွက်ချက်နှင့်၎င်း၏အမြင့်သည့်နယ်ပယ် (r) ၏ရေးထိုးအချင်းဝက်သည်:

• V ကို = 1: 3rS ။

ပုံမှန် polyhedra ၏ Volumes ကို

အစိုင်အခဲဂျီဩမေတြီကိုအခြားကဲ့သို့ပင်ပုံမှန် polyhedra ကွဲပြားခြားနားသော volumes ကိုရှိသည်။ အောက်တွင်သူတို့တွက်ချက်နိုင်သည့်နေဖြင့်ဖော်မြူလာနေသောခေါင်းစဉ်:

• Tetrahedron: α x ကို3√2: 12;
• octahedron: α x ကို3√2: 3;
• icosahedron; αက x 3;
• hexahedron (တုံး): αက x 5 x 3 x ကို (3 + √5): 12;
• dodecahedron: αက x 3 (15 + 7√5): 4 ။

ပုံမှန် polyhedra ၏ elements

Hexahedron နှင့် octahedron dual-ဂျီဩမေတြီအလောင်းတွေဖြစ်ကြသည်။ တနည်းအားဖြင့်သူတို့ကတဦးတည်း၏အ centroid သည့်အခြားများ၏ထိပ်, အပြန်အလှန်အဖြစ်ခေါ်ဆောင်သွားသောဖြစ်ရပ်အတွက်တစ်ဦးချင်းစီကတခြားထဲကရပေမည်။ ဒါ့အပြင် dual-icosahedron နှင့် dodecahedron ဖြစ်ကြသည်။ ကိုယ်တော်တိုင်သာ tetrahedron dual-ဖြစ်ပါတယ်။ Euclid ၏နည်းလမ်းအရကုဗတုံး၏မျက်နှာများပေါ်တွင် "ခေါင်မိုး" ဆောက်လုပ်နေဖြင့်တစ်ဦး dodecahedron hexahedron မှရရှိသောနိုင်ပါသည်။ အဆိုပါ tetrahedron ၏ဒေါင်လိုက်ကုဗတုံးမဟုတ်ဘဲအစွန်းတစ်လျှောက်တွင်ကပ်လျက်အားလုံးမဆို 4 vertices ဖြစ်ကြသည်။ hexahedron (တုံး) မှရရှိသောနှင့်အခြားပုံမှန် polyhedra နိုင်ပါသည်။ ဆိုတဲ့အချက်ကိုနေသော်လည်း ပုံမှန်အနား မရေမတွက်နိုင်သောပုံမှန် polyhedra ရှိပါတယ်, သာ 5 ရှိပါသည်။

ပုံမှန်အနားများ၏ radii

ဤအဂျီဩမေတြီအလောင်းတစ်ဦးချင်းစီနှင့်အတူအာရုံစူးစိုက်မှုနယ်ပယ် 3 ချိတ်ဆက်:

• ဒေါင်လိုက်ဖြတ်သန်းဖော်ပြထား;
• ကအလယ်၌၎င်း၏မျက်နှာများ၏တစ်ဦးချင်းစီနှင့်စပ်လျဉ်းရေးထိုး;
• အလယ်၌ရှိသမျှကိုအနားကိုရည်မှတ်ပျမ်းမျှ။

အောက်ပါပုံသေနည်းအားဖြင့်ဖော်ပြထားတဲ့နယ်ပယ်များ၏အချင်းဝက်တွက်ချက်:

• R ကို = တစ်ဦး: 2 x ကို TG π / g x ကို TG θ: 2 ။

အောက်မှာဖေါ်ပြတဲ့အတိုင်းရေးထိုးနယ်ပယ်များ၏အချင်းဝက်တွက်ချက်:

• R ကို = တစ်ဦး: 2 x ကို ctg π / p x ကို TG θ: 2,

ဘယ်မှာθ - ကပ်လျက်ရှုထောငျ့အကြားဖြစ်သည့် dihedral ထောင့်။

အဆိုပါနယ်ပယ်များ၏ပျမ်းမျှအချင်းဝက်သည်အောက်ပါပုံသေနည်းကို အသုံးပြု. တွက်ချက်နိုင်ပါတယ်:

• π / p cos ρ = တစ်ဦး: 2 အပွစျကိုπ / ဇ,

ဇ = 4.6, 6,10, ဒါမှမဟုတ် 10. ၏ပြင်းအားဟာ inscribed ၏ radii များ၏အချိုးဖော်ပြထားနှင့်အချိုးကျ p ရိုသေလေးစားမှုနှင့်က q နှင့်အတူရှိရာ။ အောက်မှာဖေါ်ပြတဲ့အတိုင်းဒါဟာတွက်ချက်:

• R ကို / r ကို = TG π / p x ကို TG π / q ။

polyhedra ၏ symmetry

ပုံမှန် polyhedra ၏ symmetry သည်ဤဂျီဩမေတြီအလောင်းတွေမှမူလတန်းအကျိုးစီးပွားဖြစ်ပါတယ်။ ဒါဟာ vertices, မျက်နှာများနှင့်အနား၏တူညီသောအရေအတွက်ကအရွက်ထားတဲ့အာကာသအတွင်းခန္ဓာကိုယ်တစ်လှုပ်ရှားမှုအဖြစ်နားလည်သဘောပေါက်ထားပါသည်။ တနည်းအားဖြင့် symmetry အသွင်ပြောင်း၏သြဇာလွှမ်းမိုးမှုအောက်မှာအစွန်း, vertex, ဒါမှမဟုတ်မျက်နှာမူရင်းအနေအထားကိုဆက်လက်ထိန်းသိမ်းထားခြင်းသို့မဟုတ်အခြားနံရိုး၏အိမျအနေအထား, အခြားဒေါင်လိုက်သို့မဟုတ်မျက်နှာများဖို့လှုံ့ဆော်ပေး။

ပုံမှန် polyhedra ၏ symmetry ၏ဒြပ်စင်ဂျီဩမေတြီစိုင်အခဲအမျိုးအစားအားလုံးကိုဖို့ဘုံဖြစ်ကြသည်။ ဒီနေရာတွင်ကမူလအနေအထားအတွက်ရမှတ်မဆိုအရွက်သောဝိသေသလက္ခဏာအသွင်ပြောင်းပေါ်တွင်ကောက်ယူနေပါတယ်။ သငျသညျကိုဖွင့်တဲ့အခါမှာဒါကြောင့်အနား prism အချို့ symmetry ရနိုင်သည်။ သူတို့ထဲကမဆိုရောင်ပြန်ဟပ်မှု၏ထုတ်ကုန်အဖြစ်ကိုယ်စားပြုနိုင်ပါတယ်။ တိုက်ရိုက်ကိုခေါ်ထင်ဟပ်တစ်ခုပင်အရေအတွက်ကို၏ထုတ်ကုန်ဖြစ်သော symmetry ။ ကထင်ဟပ်တစ်ခုကိန်း၏ထုတ်ကုန်သည်ဆိုပါက, ထို့နောက်သူကတုံ့ပြန်ချက် 'ဟုဆိုအပ်၏။ ထို့ကြောင့်လိုင်းပတ်ပတ်လည်အပေါငျးတို့သအလှည့်ဖြောင့် symmetry ကိုယ်စားပြုသည်။ မဆိုရောင်ပြန်ဟပ်မှု polyhedron - ထိုပြောင်းပြန် symmetry ဖြစ်ပါတယ်။

ပိုကောင်းတဲ့ပုံမှန် polyhedra ၏ symmetry element တွေကိုနားလည်ရန်, သင် tetrahedron ၏စံနမူနာယူနိုင်ပါတယ်။ ဒေါင်လိုက်တဦးနှင့်၏ဗဟိုဖြတ်သန်းလိမ့်မည်ဟုမဆိုလိုင်း ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဍာန်, အရပျကို ယူ. , အဲဒါကိုဆန့်ကျင်ဘက်အစွန်း၏ဗဟိုမှတဆင့်ပါလိမ့်မယ်။ မျဉ်းပတ်လည်ရှိအလှည့် 120 နှင့် 240 ဒီဂရီစီအများကိန်း tetrahedral symmetry ကပိုင်ဆိုင်သည်။ ဒါကြောင့် 4 vertices နှင့်မျက်နှာများကတည်းကကျနော်တို့ရှစ်တိုက်ရိုက် symmetry တစ်ဦးစုစုပေါင်းရ။ အနား၏အလယ်နှင့်ကိုယ်ခန္ဓာ၏ဗဟိုဖြတ်သန်းလိုင်းများမဆို, ကဆန့်ကျင်ဘက်အစွန်း၏အလယ်တွင်တဆင့်ဖြတ်သန်းပါတယ်။ 180 °မဆိုလည်ပတ်တစ်ဖြောင့် symmetry န်းကျင်တစ်နှစ်ခွဲ-အလှည့်ခေါ်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ tetrahedron နံရိုးသုံးအားလုံးအတွက်ရှိပါတယ်ကတည်းကသင်သည် symmetry သုံးခုလိုင်းများရ။ အထက်ပါအပေါ်အခြေခံပြီးကျွန်တော်တို့ကိုတိုက်ရိုက် symmetry ၏စုစုပေါင်းအရေအတွက်ကကောက်ချက်ချလျက်, ဝိသေသလက္ခဏာအသွင်ပြောင်းအပါအဝင်နိုငျသညျ, တကျိပ်နှစ်ပါးမှတက်ဖြစ်လိမ့်မည်။ အခြားအကိုတိုက်ရိုက် symmetry tetrahedron မတည်ရှိပါဘူး, ဒါပေမယ့်သူက 12 ပြောင်းပြန် symmetry ရှိပါတယ်။ အကျိုးဆက်သာ 24 tetrahedron symmetry သွင်ပြင်လက္ခဏာ။ ရှင်းလင်းပြတ်သားမှုအတွက်ကျနော်တို့ကတ်ထူပြားများကိုဖန်ဆင်းပုံမှန် tetrahedron တစ်ပုံစံတည်ဆောက်ကြောင့်ဂျီဩမေတြီခန္ဓာကိုယ်တကယ်သာ 24 symmetry ရှိပြီးဖြစ်ပါသည်သေချာအောင်နိုင်ပါတယ်။

Dodecahedron နှင့် icosahedron - ခန္ဓာကိုယ်ဧရိယာအနီးဆုံး။ Icosahedron မျက်နှာများ၏အကြီးဆုံးအရေအတွက်က, အ dihedral ထောင့်ရှိပြီးအပေါင်းတို့၏အများဆုံးတင်းကျပ်စွာရေးထိုးနယ်ပယ်မှတွယ်ကပ်နိုင်ပါ။ Dodecahedron အဆိုပါ vertex မှာနိမ့်ဆုံး angular ချွတ်ယွင်းအကြီးဆုံးအစိုင်အခဲထောင့်ရှိပါတယ်။ ဒါဟာ circumscribed နယ်ပယ်များတွင်ဖြည့်ဖို့အမြင့်ဆုံးနိုင်ပါတယ်။

စကင်ဖတ်စစ်ဆေးဖို့ polyhedra

ငါတို့ရှိသမျှသည်ငယ်စဉ်ကလေးဘဝအတွက်အတူတကွမှီဝဲရသောပုံမှန် polyhedra စကင်, သဘောတရားများကိုအများကြီးရှိသည်။ အနားအစုတခုလည်းမရှိလြှငျ, အရာတစျခုစီအခြမ်းဟာ polyhedron ၏တစ်ဦးတည်းသာအခြမ်းနှင့်အတူဖော်ထုတ်နေသည်, ထိုပါတီများ၏မှတ်ပုံတင်အခြေအနေနှစ်ခုလိုက်နာရမည်:

• တစ်ခုချင်းစီကိုအနား၏, သင်ခြမ်းများ၏မှတ်ပုံတင်ရှိခြင်းတစ်ဦးအနားသို့သွားနိုင်ပါတယ်;
• သတ်မှတ်ဘက်တူအရှည်ရှိသင့်ပါတယ်။

ဤအခြေအနေများနှင့်ကိုက်ညီသောအနားအစုတခုဖြစ်ပြီး, တစ်ဦး polyhedron စကင်ဟုခေါ်သည်။ ထိုအကောင်များတစ်ခုချင်းစီသူတို့ထဲကအတော်များများရှိပါတယ်။ ဥပမာအားဖြင့်, 11 ကိုအပိုင်းပိုင်းရှိပါတယ်ရာတစ်တုံး။